Cultura

DIVULGACIÓN CIENTÍFICA

Criticalidad autoorganizada y leyes matemáticas en el arenero

Gabriel Paissan

Físico | CNEA y CONICET | Docente CRUB - UNCo

Sábado 18 de abril de 2015 | Edición del día

Es muy probable que alguna vez hayamos sido partícipes de la distendida experiencia de formar pilas de arena -quizá en una playa o una plaza- y ver como el agregado de pequeñas cantidades de arena sobre el amontonamiento producía avalanchas a veces grandes, a veces pequeñas. La cándida experiencia guarda relación con una serie de ideas que a fines de los 80 llevó a los físicos Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld del Laboratorio Nacional de Broohaven a postular que: los sistemas grandes con muchos componentes que interaccionan entre sí evolucionan a un estado crítico, en el cual un acontecimiento menor puede provocar eventos de distintos tamaños, algunos catastróficos [1].

Para ilustrar la idea, supongamos que se vierte arena en forma lenta, uniforme y de a un grano por vez, desde un punto fijo, sobre una superficie circular plana. Al principio los granos van cayendo quedando cerca entre ellos. Luego comienzan a amontonarse unos sobre otros formando una pila cada vez más grande. Ocasionalmente al hacerse la pendiente más pronunciada en algún lugar se van generando pequeñas avalanchas. Conforme se va agregando más y más arena, se va acentuando la pendiente media de la pila, aumenta el tamaño medio de las avalanchas y comienzan a escaparse granos de arena del disco. Se llega un punto en que el montón deja de crecer y la pendiente ha alcanzado un ángulo bien definido. La cantidad de arena agregada queda compensada por la cantidad que se cae del disco. El sistema ha alcanzado el estado crítico. La fricción ya no puede evitar que el choque de un grano con otro realice nuevas colisiones, y que se produzcan reacciones en cadena que generen avalanchas. En esta situación si se agrega un grano de arena a la pila -que se encuentra en estado crítico- puede producirse, de manera impredecible, una reacción en cadena que genere una avalancha de cualquier tamaño, incluso, una de tamaño “catastrófico”. Es decir, no hay forma de prever, cuando se añade un nuevo grano, si se desplazarán unos pocos granos, se producirá una gran avalancha que precipite toda una ladera o se producirá una avalancha de tipo intermedio. Por otra parte, si el ángulo de la pendiente de la pila es inferior al del valor en el estado crítico –estado subcrítico- los tamaños de las avalanchas serán menores que las generadas en el estado crítico y la pila subcrítica crecerá hasta alcanzar el estado crítico. En cambio, si el ángulo de la pendiente es mayor que el correspondiente al estado crítico –estado supercrítico- las avalanchas serán mucho mayores que las generadas por el estado crítico. En conclusión, tanto los apilamientos subcríticos como supercríticos son llevados espontáneamente hacia el estado crítico. Por ende, el sistema tiende permanentemente al estado crítico, al que se vuelve después de cada avalancha. Se tiene una: criticalidad autoorganizada (SOC, acrónimo para las siglas en inglés de Self-organized Criticality ).

Figura 1: Formando una pila de arena
Las simulaciones computacionales de la experiencia antes relatada, mostraron que el número de avalanchas de cierto tamaño x, sigue una ley de potencias. Matemáticamente (*)

donde N(x) representa el número de avalanchas de tamaño x y es un exponente que indica la potencia de la ley de potencias. Si se toman logaritmos al primer y último término en la cadena de igualdades anterior, se tiene

La representación gráfica de ésta última ecuación es una línea recta cuya pendiente o inclinación es - t .

De hecho, la forma de develar la existencia de una ley de potencias se logra cuando, al representar los datos en escala logarítmica, la forma de la gráfica se acerca mucho a una línea recta (véase la Figura 2).

Per Bak y colaboradores sugirieron que sistemas dinámicos que presentan criticalidad autoorganizada deberían dar origen a leyes de potencias.

La idea llevó a preguntarse si en una amplia variedad de fenómenos naturales, en los que pueden ocurrir eventos catastróficos, como el de la tectónica de placas, incendios forestales, actividad volcánica, extinciones masivas de especies, e incluso eventos estelares, no son otra cosa que fenómenos que ocurren en sistemas que han alcanzado un estado de criticalidad autoorganizada.

Figura 2: Número de avalanchas de tamaño x en función del tamaño x de la avalancha. Hacia la derecha del gráfico se ve que hay pocas avalanchas de gran tamaño. La línea de puntos es una recta de pendiente -1,1 que aproxima el exponente de la ley de potencias. (En rigor, lo que se grafica es la distribución de probabilidad de las avalanchas que donde el Número de avalanchas de cada tamaño es dividido por el número total de avalanchas).

Terremotos

A mediados de siglo pasado los geólogos B. Gutemberg y C. Richter (el de la escala) descubrieron una ley empírica que establece una relación entre el número de terremotos y la energía liberada en los seísmos. Encontraron que el número de terremotos que cada año liberan una energía E, es proporcional a 1 dividido E elevado a un exponente aproximado de 1,5. Es decir,

O, más simplemente,

¡Una ley de potencias! Nótese, que si la energía E es grande, el número N(E) de terremotos de esa energía E, será chico. Inversamente, si E es pequeña, N(E) será grande. De esta manera, inferimos que los terremotos grandes (de gran valor E de energía) ocurren con menos frecuencia que los pequeños. Por ejemplo, si E =100, N(E) será 0,001. Así, si en una región en un año se produce un terremoto de energía 100, entonces es de esperar que en dicho año se produzcan 1000 pequeños temblores de energía 1.

La observación de que los terremotos pequeños guarden una relación común con los grandes induce a pensar que tanto los pequeños temblores como los grandes terremotos proceden de un mismo proceso mecánico. El hecho de que esa relación esté representada por una ley potencial llevó a Per Bak y colaboradores a suponer que la corteza terrestre evolucionó ya hasta su fase crítica, estacionaria y que los terremotos -como las avalanchas en la pila de arena- autorregulan el sistema manteniéndolo en el estado crítico.

Los movimientos de las placas de la corteza terrestre crean y acumulan entre ellas tensiones hasta que finalmente se produce un deslizamiento generando un terremoto de cierta energía. Allí se libera tensión, pero solo lo suficiente para recuperar estabilidad. Luego, la acumulación de tensiones comienza otra vez. Normalmente esas presiones se liberan de a poco, en la forma de pequeños temblores. Pero - como sabemos- de vez en cuando se produce un evento de proporción descomunal con consecuencias que pueden ser verdaderamente catastróficas, como el del sismo que afectó la ciudad de Haití, que quedó destruida por su paupérrima infraestructura.

Si bien la teoría de la SOC no permite predecir cuándo se producirá un terremoto, ha hecho aportes muy importantes en la descripción de la distribución espacial de los epicentros y en explicar la ley de Omori, una ley empírica que describe el número de terremotos secundarios de una magnitud determinada.

Crisis capitalista

No es de extrañar que esta idea de sistemas que “viven” tendiendo a un estado crítico se haya considerado extenderla del mundo natural a los sistemas sociales. El crack bursátil del lunes negro de 1987 constituía en el momento de elaboración de la teoría una experiencia cercana que sugería con crudeza la “criticalidad” de los mercados. Per Bak junto a los economistas Michael Woodford y José Scheinkman realizaron un modelo económico muy básico basado en agentes (productores y consumidores). Obtuvieron como conclusión que “las grandes fluctuaciones observadas en economía implican que ésta opera en un estado crítico autoorganizado en el cual el menor shock puede llevar a avalanchas (cracks) de todos los tamaños. Las fluctuaciones son inevitables. No hay forma de que nadie pueda estabilizar la economía y se libre de las fluctuaciones a través de regulaciones de las tasas de interés o medidas de otro tipo” [2].

Si bien la caracterización de una economía crítica autoorganizada parece capturar parte de la esencia del sistema, estudios de las fluctuaciones estadísticas de índices como el S&P 500 muestran que éstos no se ajustan estrictamente a una ley de potencias. La criticalidad autoorganizada no alcanza, por sí sola, para explicar el funcionamiento de la economía.

La teoría de la criticalidad autoorganizada no alcanzó el grado de universalidad aspirado por sus descubridores, pero independientemente de los fenómenos de los que sí puede dar cuenta, tiene un mérito adicional en la forma particular de aproximarse al estudio de los mismos. En ésta aproximación las consideraciones de las partes y el todo del sistema constituyen un método novedoso para tratar con cierta “dialéctica” sistemas con una gran cantidad de elementos que interaccionan entre sí.

En cualquier caso, en palabras del físico y autor Philip Ball “La criticalidad autoorganizada es uno de los pocos descubrimientos científicos genuinos nuevos de la física estadística de las últimas dos décadas y ha demostrado ser una idea asombrosamente fértil ” [2].

(*) Puede saltearse esa parte si no se está interesado en la formulación matemática. No obstante, puede ser útil darle una mirada para tener una mejor comprensión y fijación del concepto.

[1] Per Bak, How nature works, Oxford University Press, 1997.
[2] Philip Ball, Masa Crítica. Cambio, caos y complejidad, Fondo de Cultura económica, 2010.

Otras lecturas recomendables

Per Bak, K. Chen, Criticalidad autoorganizada, Investigación y Ciencia.







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